Movimiento bidimensional

Supondremos que el proyectil parte del origen con una velocidad V0 que forma un ángulo θo con la horizontal. Las componentes iniciales de la velocidad son V0x = Vo cosθ0 ; Voy = V0 senθ0.

Sustituyendo estas expresiones en las ecuaciones anteriores, se obtienen las ecuaciones cinemáticas del movimiento de un proyectil:


ax = 0

ay = - g


Vx = Vo cosθo

Vy = - gt + Vo senθo

x = Vo cosθo t


y = - ½ g t2 + Vo senθo t


Las preguntas que pueden surgir son:

¿Cuál es la trayectoria del proyectil?


De las ecuaciones paramétricas X y Y, eliminemos el tiempo:








Tenemos una ecuación de la forma: y = - ax2+bx , que es la ecuación de una parábola.


b) ¿Cuál es la velocidad del proyectil en un momento dado?


Por el teorema de Pitágoras, la magnitud es: v = V2x + V2y , y el ángulo que forma con la horizontal es:





c) ¿Cuál es su máxima altura?

Esto sucede cuando su velocidad vertical se anula:


Vy = 0 = - g t + Vo senθ.


De aquí se despeja el tiempo:

t = Vo senθo

g


Y lo llevamos a la ecuación que nos da la ordenada y, que llamamos ahora

La altura máxima Y.


Y = V2o sen2θo

2g


¿Cuál es el alcance?



Es el valor de x cuando el proyectil ha llegado al suelo, es decir, para y=0; esto nos da:

0 = - ½ g t 2 + Vo senθo t = ( - ½ g t + Vo senθo ) t:

t = 2Vo senθo_

g


Y lo llevamos a la ecuación de x, que llamamos ahora el alcance de x.


X = Vo cosθo 2Vo senθo_

g

Y como sabemos que 2cosθo senθo = sen2θo, se tiene:


X = V2o_ sen2θo

g

¿Para qué valor del ángulo inicial θo el alcance es máximo?



El alcance es máximo cuando sen2θo es máximo, es decir, cuando sen2θo = 1. Por lo tanto, el ángulo 2θo es igual a 90° y θo es igual a 45°.

Si el proyectil es lanzado horizontalmente, con velocidad Vo desde el origen, las ecuaciones cinemáticas se simplifican y se obtiene:


ax = 0 ay = -g


Vy = V0 Vy = -g t


x = V0 t y = - ½ g t 2


Estas ecuaciones se simplifican aun más si se toma el eje y hacia abajo. En este caso, g es positiva y las ecuaciones se escriben:


ax = 0 ay = g


Vy = Vo Vy = g t


x = Vo t y = ½ g t 2